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不定方程的解題思路-2022山東公務員考試行測解題技巧
http://www.findaunicornwoman.com       2021-08-04      來源:山東公務員考試網
【字體: 】              

  不定方程(組)是指未知數個數多于方程個數,不能通過一般的消元法直接得到唯一解,常與差倍比問題、利潤問題等熱門考點相結合,故需要考生們在備考的過程中加以重視。今天與大家一起探討一下公務員行測考試中不定方程(組)的解題思路。


  不定方程(組)包含不定方程與不定方程組,而根據題目條件對未知數是否必須為整數的限制,可以將不定方程組分為限定性不定方程組和非限定性不定方程組。前者指未知數必須為正整數,后者則無此要求。兩種類型的不定方程組問題都有其固定的解題思路,方法性與技巧性比較強,掌握相應的思路去解題便會事半功倍。


  不定方程


  題型特征:根據題干可列出一個包含兩個未知數的方程


  解題方法:首先分析奇偶、倍數、尾數等數字特性,然后嘗試代入排除


  例1.【2015聯考】每年三月某單位都要組織員工去A、B兩地參加植樹活動,已知去A地每人往返車費20元,人均植樹5棵,去B地每人往返車費30元,人均植樹3棵,設到A地有員工x人,A、B兩地共植樹y棵,y與x之間滿足y=8x-15,若往返車費總和不超過3000元時,那么,最多可植樹多少棵?


  A.498


  B.400


  C.489


  D.500


  【解題思路】已知植樹棵數 y=8x-15,一個方程兩個未知數為不定方程,8x為偶數,15為奇數,偶數-奇數=奇數,則y為奇數,排除A、B、D項,正確答案為C。


  【點評】本題若采用常規解方程的方法也可解題,但耗費時間久,不適合考場使用。本題不需要算車費等其他數值,因此可利用數字特性直接鎖定答案。


  不定方程組


  1.限定性不定方程組


  題型特征:可根據題意列出方程組,未知數多于方程數,且未知數必須為正整數,常用來表示人數、盒子或者其他物體的個數等


  解題方法:先消元轉化為不定方程,再按不定方程求解


  例1.【2017江蘇】小王打靶共用了10發子彈,全部命中,都在10環、8環和5環上,總成績為75環,則命中10環的子彈數是:


  A.1 發 B.2 發


  C.3 發 D.4 發


  【解題思路】設命中10環、8環、5環的子彈數分別為正整數x、y、z。由子彈總數為10發,總環數為75環,可列不定方程組:


  x+y+z=10……①;


  10x+8y+5z=75……②;


  求命中10環子彈數x,由②-①×5可得不定方程5x+3y=25。5x、25均為5倍數,3y也必然為5倍數,y只能為5,此時x=2,正確答案為B。


  【點評】將不定方程組消元變為不定方程時,求誰保留誰,消掉另外兩個未知數中較好計算的一個。本題也可直接分析方程②,10x+8y+5z=75中,10x、5z、75均為5的倍數,則8y一定也是5的倍數,y=5、10、15…,加和不能超過 75,則 y=5,代入求解同樣可以鎖定B項。但該方法有局限性,如當z的系數為6時無法使用,需要根據具體題目具體分析。


  例2.【2018四川下】某企業采購A類、B類和C類設備各若干臺,21臺設備共用48萬元。已知A、B、C類設備的單價分別為1.2萬元、2萬元和2.4萬元。問該企業最多可能采購了多少臺C類設備?


  A. 16


  B. 17


  C. 18


  D. 19


  【解題思路】設該企業采購A類、B類和C類設備數量分別為A、B、C。已知“21臺設備共用48萬元”,則A+B+C=21……①,1.2A+2B+2.4C=48……②。聯立兩式,②×5-①×6可得:4B+6C=114,化簡得:2B+3C=57。由于設備購買數量一定是不為零的整數,根據倍數特性,57和3C均可以被3整除,則2B一定可以被3整除。若要C類設備最多即B最小,B最小為3,代入原式可得:C=17,A=1,符合題意。因此該企業最多可能采購了17臺C類設備,正確答案為B。


  【點評】消元時也可消掉B,②-①×2可得:-0.8A+0.4C=6,約分得:-2A+C=15,即C-2A=15。2A為偶數,15為奇數,奇數-偶數=奇數,則C必須是奇數,排除A、C項。剩二代一,題干要求“最多”,因此從最大的選項開始代入,代入D項:19-2A=15,解得 A=2,B=0,由于設備購買數量一定是不為零的整數,故B≠0,排除D項。提示大家,正確答案有且僅有一個,排除掉三個錯誤答案后,剩下的一定為正確答案,無需再次驗證。


  2.非限定性不定方程組


  題型特征:可根據題意列出方程組,未知數多于方程數,且未知數不一定為正整數,常指物品的價格、工作的時間等,需要求解的是一組未知數的和。


  解題方法:特值法(賦零)或配系數法


  當未知數表示時間和錢,可以為小數,這樣的方程組有無數組解,有好多解都滿足方程,隨便找一組即可,而0最簡單,因此可以用賦零法。建議使用時讓最復雜的未知數為0,代入進行計算。而配系數法中系數是湊出來的,若考場上無法湊出來,則無法求解,因此建議用賦零法解題。


  例1.【2016春季聯考】木匠加工2張桌子和4張凳子共需要10個小時,加工4張桌子和8張椅子需要22個小時。問如果他加工桌子、凳子和椅子各10張,共需要多少小時?


  A. 47.5


  B. 50


  C. 52.5


  D. 55


  【解題思路】假設每張桌子、凳子、椅子的所需時間分別為a小時、b小時、c小時,則2a+4b=10、4a+8c=22,化簡得到a+2b=5①,a+2c=5.5②,①+②=2a+2b+2c=10.5,則10(a+b+c)=52.5,所需時間52.5小時,正確答案為C。


  【點評】本題中未知數為時間,時間不一定是整數,且要求的量為一組數的和,若考生數字敏感性較差,無法通過配系數求解,也可用賦零法解題。賦值a=0,原方程組可轉化為4b=10,8c=22,4(b+c)=21,10(a+b+c)=52.5。


  【例2】【2018上?!楷F有甲、乙、丙三種貨物,若購買甲1件、乙3件、 丙7件共需200元;若購買甲2件、乙5件、丙11件共需350元。則購買甲、乙、丙各1件共需多少元?


  A. 50


  B. 100


  C. 150


  D. 200


  【解題思路】根據題干條件,假設甲、乙、丙的價格依次是x、y、z元,則根據題意可列方程組:x+3y+7z=200①,2x+5y+11z=350②。賦丙的價格為0,即z=0。原方程組轉化為x+3y=200;2x+5y=350,解得:x=50,y=50??傻茫簒+y+z=50+50+0=100元,正確答案為B。


  【點評】若采用配系數法,可將原方程組:x+3y+7z=200①,2x+5y+11z=350②,①×3得:3x+9y+21z=600③,②×2:4x+10y+22z=700④,④-③解得 x+y+z=100。配系數法不是每道題都適用,需要較強的數字敏感度,建議優先掌握賦零法。


  掌握不定方程(組)的解法可有效提高和差倍比、經濟利潤、年齡問題等??碱}型的解題速度與正確率,建議各位考生加強練習,熟練運用。


  最后祝愿各位考生備考順利,成功上岸!



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